GPT-5，你这家伙！
究竟还有什么事是我不知道的？
在一篇最新论文中，研究人员让它挑战了5个尚未解决的优化猜想。
结果它居然解出了其中3个！
更令人吃惊的是，其中有一道题，它甚至给出了与研究者预期完全不同的、同样有效的证明方案。
和国际数学奥林匹克（IMO）那些为“人类天才高中生”准备的题目不同，这次的测试题需要博士水平的研究者花上几天才能完成。
在论文里，研究者们还特意“挑衅”陶哲轩对大语言模型数学能力的印象——
它可不是“笨蛋”研究生，而是能展现出独创性的“聪明”博士生。
前微软研究副总裁、现OpenAI科学家Sebastien Bubeck表示：
这意味着GPT-5能够解决一些真正的开放性数学问题。
接下来，就让我们看看，这位AI数学天才是怎么炼成的。
“哥德尔”测试
如上所述，GPT-5这次挑战的并不是奥赛题，而是高等数学里的简单猜想。
求解这类问题不仅需要算术能力，还需要相当强的数学背景和逻辑推理能力。
研究人员把他们的测试称为：哥德尔测试。
哥德尔测试里的问题需要人自己动脑、经过训练才能解决，而且在现有文献中找不到现成答案。
（注：这里哥德尔测试与哥德尔不完全性定理基本没啥关系）
在这篇论文中，总共5个问题基本都来自组合数学（Combinatorial mathematics）的一个子领域——
子模最大化（submodular maximization）。
什么是子模最大化呢？
简单来说，子模函数的核心在于边际收益递减。
假设有一个函数 f(S)，输入是一个集合S，输出是一个数值。
当集合越来越大时，增加一个新元素带来的“增量收益”会越来越小。
而子模最大化，就是在给定的约束条件下，选择一个集合，使得总收益 f(S)尽可能最大。
举例来说，这就好像在社媒转发视频，第一个转发的用户往往能带来很多观看量（传播给更多的人）。
但随着转发的人越来越多，每增加一个人的额外效果就越来越小（因为他的好友大部分已经看过了视频）。
所以，关键是选出一批用户（集合S），好让总传播量最大。
这就是子模最大化在实际问题中的优化目标，在测试中，GPT-5所应对的就是类似的优化问题。
GPT-5五中三
那么，GPT-5在这些猜想上的表现如何呢？
在五道测试题中，研究者给出最小化描述和参考文献，没有提供解题提示，让模型自主生成解答，测试其数学推理能力。
总的结果如下：
- 当问题有单一、直接的推理路径时，GPT-5表现良好。在五道题中，前三道题的证明接近正确。
- 对于第二题，GPT-5推导出的新近似证明既否定了原始猜想，又给出了有效解法。
- GPT-5对已知证明的改写通常足够，但略显表面化：它倾向于跳过未变的步骤，并严格模仿原始结构，而非寻求更自然的替代方法，这类似人类的偷懒行为。
- GPT-5在第四题和第五题上均未成功，这两道题需要结合至少2个不同文献里的洞见，这种综合推理能力似乎是GPT-5的主要局限之一。
- 在第五题上，GPT-5识别出了研究团队心中所想的算法，但未能正确分析。
- 相比早期模型，GPT-5在基础数学能力上显示出明显提升（至少在组合优化领域如此），并偶尔展现独创性。
- 提示词对性能影响显著。当被要求提供完整证明时，GPT-5更倾向于保留中间步骤而非跳过，从而生成更完整和自洽的解答。
- 第四题和第五题的错误证明最初看似合理且令人信服，但仔细检查后发现存在深层次缺陷。这凸显了前沿模型在数学推理中的核心局限：输出可能表面上正确，但本质上错误。
第一题：最大化“单调 + 非单调”的子模函数
在第一个题目中，GPT-5 的任务是最大化一个由单调DR-子模函数和非单调DR-子模函数组成的目标函数，约束条件是一个下闭凸集合。
研究者希望它不仅给出解，还要提供可量化的性能保证，说明算法输出离理论最优解有多近，并要求提供严格的数学证明。
为了完成这个任务，GPT-5只能依靠对问题的理解和参考文献，自主生成解答，没有任何额外提示。
具体的prompt如下：
对此，GPT-5每步沿最“贪心”的方向微调解，然后用函数的结构保证最终结果接近最优。
对于GPT-5的回答，研究人员表示虽然GPT-5没有设计全新的方法，但它紧贴参考资料，给出了总体正确的证明。
第二题：子模函数最大化的双重标准（bicriteria）算法
在这道题里：
- GPT-5要最大化一个单调子模函数。
- 同时要满足一个约束条件（p-system）。
也就是说，GPT-5面对的任务是：在更复杂的组合约束下，找到既能最大化函数又尽量满足约束的解。
研究人员给GPT-5的提示里附上了两篇关于子模最大化的双重标准算法和p-系统约束下非双重标准子模优化的论文。
具体的prompt如下：
GPT-5解题过程如下：
在第二题中，GPT-5给出的答案比研究者最初猜想的更合理，因为随着约束复杂度增加（p 值变大），问题确实会更难。
整体来说，GPT-5 的推导基本正确，但有两个小问题：
- 在某个关键不等式里，它多写了一步，其实没必要，这让结果看起来有些复杂，但核心思路没错。
- 当约束最简单（p=1）时，GPT-5忘记了某个参数的精确值，只给出了一个上界。
换句话说，它没完全注意到在特例下可以算出更准确的数字，但总体逻辑还是对的。
总的来说，GPT-5能理解问题、给出合理的推导，偶尔会有些“懒”或者忽略细节，但整体表现已经非常接近研究者预期。
第三题：在凸集合约束下最大化弱DR-子模函数
第三题要求：在凸集合约束下，最大化一个具有这种放宽性质的连续单调函数。
prompt如下：
研究人员猜想：用文献中类似Frank-Wolfe的算法来求解这个问题，可以保证得到相应的近似解。
GPT-5解题过程如下：
总体来看，GPT-5 的回答基本正确，但有些小问题。
之后，研究团队又让GPT-5生成了一个新的证明版本。
在新版本的回答中，GPT-5的回答更详细，几乎是从头再来。
总体来看，GPT-5回答正确性较高，但仍有小细节和可读性问题。
第四题：在基数约束下最大化部分单调的弱子模函数
第四个猜想是将非单调弱子模函数、m-单调性的放宽结合起来，研究弱子模且m-单调的集合函数最大化问题。
prompt如下：
研究人员假设：可以利用函数的m-单调性，对论文证明中使用的变量的取值得到新的界。
这些新的界在m>0时应优于论文中给出的界，并将它们代入同一论文的定理中，从而可以得到改进后的结果。
GPT-5的解题过程如下：
在这道题中，GPT-5并没有真正给出这个问题的结果，它只是把已知的东西复述了一遍。
后续，研究者又让GPT-5重新回答，以得到一个更好结果。
不过，在后续的回答中，GPT-5的表现依旧差劲。
在这道题上，GPT-5翻车了。
第五题：在Matroid交约束下最大化单调弱子模函数
最后一个猜想是关于在两个matroid约束下最大化单调弱子模函数的问题。
研究人员假设，该论文的算法和分析方法应该可以很容易地扩展到两个matroid约束。
prompt如下：
GPT-5解题过程如下（部分）：
在这道题上，GPT-5的回答在逻辑上和细节上都不可靠，输出结果基本不可用。
最后，值得一提的是，在GPT-5刚发布时，它就被拿来测试过凸优化的问题并且成功。
那么，你看好GPT在数学上更进一步吗？
