时隔243年,欧拉的「三十六军官」布列课题,在量子态中得到解决

量子在解决数学课题中发挥了它们的魔法。

图片1779 年,瑞士大名鼎鼎的数学家莱昂哈德 · 欧拉(Leonhard Euler)曾提出一个课题:即从分别的 6 个军团(army regiment)各选 6 种分别军阶(rank)的 6 名军官(officers)共 36 人,排成一个 6 行 6 列的方队,使得各行各列的 6 名军官恰好来自分别的军团而且军阶各不相同,应如何排这个方队?历史上称这个课题为「三十六军官课题」。三十六军官课题提出后,很长一段时间没有得到解决。

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图源:irishtimes.com当有 5 个军阶和 5 个军团,或者 7 个军阶和 7 个军团时,这个难题就很容易解决。但欧拉没有找到三十六军官的解决方案,他得出结论:这样的布列是不可能的,尽管无法给出严格的证实。一个多世纪后的 1901 年,法国数学家加斯顿 · 塔里(Gaston Tarry)证实,确实没有办法将欧拉的 36 名军官布列在一个 6×6 的正方形中而不反复,他写出了 6×6 正方形的所有可能布列,证实 36 个军官课题是不可能的。时间到了 1960 年,数学家们使用计算机证实了对于任何数量的军阶和军团课题,都有解决方案,除了 6 个军阶和 6 个军团。200 多年来,这个谜题吸引了无数的数学家。他们制作了「魔方」,魔方由一组排放在正方形中的整数组成,其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等;除此以外,还有研究者制作了「拉丁方阵」,这是一种 n × n 的方阵,在这种 n × n 的方阵里,恰有 n 种分别的元素,每一种分别的元素在同一行或同一列里只出现一次。目前,流行着一种拉丁方阵,即数独 (Sudoku),数独中也没有反复的符号。欧拉三十六军官课题要求一个「正交拉丁方阵」,需要满足两组属性,例如军阶和军团,都同时满足拉丁方阵的规则。

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一个五乘五的网格可以填充五个分别等级和五种分别颜色的棋子,这样任何行或列都不会有反复的等级或颜色。尽管欧拉认为不存在这样的 6×6 方阵,但这一结论正在发生变化。在提交给《物理评论快报》的一篇论文《 Thirty-six entangled officers of Euler: Quantum solution to a classically impossible problem 》中,来自印度理工学院(马德拉斯理工学院校区)、雅盖隆大学等机构的一组量子物理学家证实,可以以符合欧拉标准的方式安排 36 名军官 ——只要军官可以拥有军阶和军团的量子混合。这是魔方和拉丁方阵的在量子版本的最新研究,这不仅是有趣的游戏,还可以应用于量子通信和量子计算。

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论文地址:https://arxiv.org/pdf/2104.05122.pdf因斯布鲁克大学的量子物理学家 Gemma De las Cuevas(她并没有参加这项研究)表示:「我认为他们的论文非常有意义,里面介绍了很多量子魔法。不仅如此,你还可以在整篇论文中感受到他们对这个课题的热爱。」量子拉丁方阵概念的引入在量子力学中,电子等物体可以处于多个可能状态的「叠加」中,这些状态可以是这里和那里,也可以是上下磁定向。量子物体在被测量前一直处于中间或不定的状态,测量后则处于一个状态。量子拉丁方阵也可以处于量子叠加的量子态。在数学上,量子态由一个向量来表示,这个向量像箭头一样有长度和方向。一个叠加即是结合多个向量组成的箭头。并且,类似于沿着拉丁方阵每行和每列的符号不反复的要求,沿着量子拉丁方阵每行或每列的量子态也必须对应彼此垂直的向量。后来,量子拉丁方阵的特殊属性令一群理论物理学家和数学家非常感兴趣,并很快采用了这一概念。2020 年,法国数学物理学家 Ion Nechita 和 Jordi Pillet 创建了数独游戏(Sudoku)的量子版本——SudoQ。他们没有使用 0 到 9 之间的整数,相反 SudoQ 中的每个行、列和字方格都有 9 个垂直的向量。

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Ion Nechita。这些进展令波兰雅盖隆大学的博士后研究员 Adam Burchardt(这项工作的共同一作)及其同事重新审视欧拉关于 36 军官方阵的古老谜题。他们想知道,如果欧拉课题中的军官是量子态的,又该如何呢?

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Adam Burchardt。在该课题的经典版本中,每个条目(entry)都是具有明确军阶和军团的军官。将这 36 名军官想象成彩色的棋子很有帮助,他们的军阶可以是国王、王后、车、象、马或兵(国际象棋)。这些军官所属的军团可以用红色、橙色、黄色、绿色或紫色来表示。但在量子版本中,军官是由军阶和军团的叠加形成的,例如一名军官可以是红色国王和橙色王后的叠加。至关重要的是,组成这些军官的量子态具有胶葛关系,它涉及到了分别实体之间的关联性。例如,如果一个红色的国王与橙色的王后胶葛在一起,那么即使国王和王后都处于多个军团的叠加态中,我们观察到国王是红色的,则会立刻知道王后是橙色的。正是因为胶葛的特殊属性,沿着每条线的军官都可以是垂直的。用近似解和算法实现真正解上述理论似乎有效,但为了证实这一点,研究者必须构建一个量子态军官组成的 6×6 方阵。大量可能的配置和胶葛意味着他们必须借助计算机。因此,研究者插入了一个经典近似解(由 36 名经典军官组成的布列,一行或一列中只有少数军官的军阶和团是反复的),并应用了一种算法,将布列调整为真正的量子解。该算法的工作原理有点像使用蛮力玩魔方,首先固定第一行,然后是第一列、第二列,以此类推。当他们一遍遍地反复该算法时,36 军官方阵谜题越来越接近真正解了。最终,研究者得到了这种模式,并手动地填写了剩余少数条目。从某种意义上来说,欧拉被证实是错误的,尽管在 18 世纪,他不可能知道量子军官存在的可能性。「他们关闭了关于这个课题的书,这已经很好了,」Ion Nechita 说。「这是一个非常漂亮的结果,我喜欢他们获得它的方式。」根据合著者、钦奈印度马德拉斯理工学院物理学家苏海尔 · 拉瑟的说法,他们的解决方案的一个令人惊讶的特点是,军官等级只与相邻等级(国王与皇后、白车与主教、骑士与棋子)胶葛在一起。与相邻团的团。另一个惊喜是出现在量子拉丁方格中的系数。这些系数本质上是告诉你在叠加中赋予分别项多少权重的数字。奇怪的是,该算法所采用的系数的比率是 Φ,即 1.618……,即著名的黄金比例。该解决方案也被称为绝对最大胶葛态 (AME,Absolutely Maximally Entangled state),这是一种关于量子对象的布列课题,在包括量子纠错在内的许多应用都很重要,例如在量子计算机中存储冗余信息的方式,这样即使数据损坏,信息也能保存下来。在 AME 中,量子对象的测量值应该存在比较强的相关性:我们以抛硬币来说,如果两个人(Alice、Bob)抛胶葛硬币,其中 Alice 抛硬币并得到正面,那么他定肯知道 Bob 是反面,反之亦然。两枚硬币可以最大限度地胶葛在一起,三枚也可以,但四枚不行:如果有两个人一起加入抛硬币,Alice 就永远不知道 Bob 得到了什么。然而,新的研究证实,如果你有一组四个胶葛在一起的骰子,而不是硬币,它们可以被最大程度地胶葛在一起。六面骰子的布列相当于 6×6 量子拉丁方阵。由于解决方案中存在黄金比例,研究人员将其称为「黄金 AME」。研究人员已经从经典的纠错码开始设计其他的 AME,并找到了类似的量子版本。但是新发现的黄金 AME 是分别的,它没有经典的加密模拟。Burchardt 认为这些发现可能是新的第一类量子纠错码。原文链接:https://www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/

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